✨ مسئله: بزرگترین عدد کمتر از 200 که بر 5، 7 و 11 بخش‌پذیر نباشد. 📐

📝 شرح مسئله

ما باید بزرگترین عددی را پیدا کنیم که از 200 کوچکتر باشد و به طور همزمان نتواند بر اعداد 5، 7 و 11 تقسیم شود. این یک مسئله‌ی ترکیبی است که نیاز به بررسی اعداد مختلف دارد تا شرایط مورد نظر را برآورده کند. 🚀

💡 روش اول: جستجوی معکوس (Reverse Search)

در این روش، از عدد 199 شروع می‌کنیم و به سمت پایین می‌رویم تا اولین عددی را پیدا کنیم که بر هیچ‌کدام از اعداد 5، 7 و 11 بخش‌پذیر نباشد. 🔍

• ابتدا بررسی می‌کنیم که آیا 199 بر 5 بخش‌پذیر است؟ خیر.
• آیا 199 بر 7 بخش‌پذیر است؟ خیر.
• آیا 199 بر 11 بخش‌پذیر است؟ خیر.

بنابراین، عدد 199 شرط ما را برآورده می‌کند. 🎉

💡 روش دوم: استفاده از اصل شمول و عدم شمول (Inclusion-Exclusion Principle)

این روش کمی پیچیده‌تر است اما می‌تواند برای اعداد بزرگتر مفید باشد. ابتدا تعداد اعدادی که بر 5، 7 یا 11 بخش‌پذیر هستند را محاسبه می‌کنیم و سپس آن را از کل اعداد کم می‌کنیم. 🤯

1. تعداد اعداد کمتر از 200 که بر 5 بخش‌پذیرند: $$199/5=39$$
2. تعداد اعداد کمتر از 200 که بر 7 بخش‌پذیرند: $$199/7=28$$
3. تعداد اعداد کمتر از 200 که بر 11 بخش‌پذیرند: $$199/11=18$$
4. تعداد اعداد کمتر از 200 که بر 5 و 7 بخش‌پذیرند: $$199/35=5$$
5. تعداد اعداد کمتر از 200 که بر 5 و 11 بخش‌پذیرند: $$199/55=3$$
6. تعداد اعداد کمتر از 200 که بر 7 و 11 بخش‌پذیرند: $$199/77=2$$
7. تعداد اعداد کمتر از 200 که بر 5، 7 و 11 بخش‌پذیرند: $$199/385=0$$

با استفاده از اصل شمول و عدم شمول، تعداد اعداد بخش‌پذیر بر 5، 7 یا 11 برابر است با:

$$39+28+18-5-3-2+0=75$$

بنابراین، تعداد اعدادی که بر هیچ‌کدام از این اعداد بخش‌پذیر نیستند برابر است با:

$$199-75=124$$

این روش به ما می‌گوید که 124 عدد کمتر از 200 وجود دارد که بر 5، 7 و 11 بخش‌پذیر نیستند. اما این لزوماً به معنای اینکه بزرگترین آنها 199 است نمی‌باشد. برای اطمینان باید بررسی کنیم.

💡 روش سوم: بررسی اعداد نزدیک به 200

در این روش، از عدد 199 شروع می‌کنیم و به سمت پایین می‌رویم تا اولین عددی را پیدا کنیم که بر هیچ‌کدام از اعداد 5، 7 و 11 بخش‌پذیر نباشد. 🧐

عدد	بخش‌پذیری بر 5	بخش‌پذیری بر 7	بخش‌پذیری بر 11
199	خیر	خیر	خیر
198	خیر	خیر	بله
197	خیر	بله	خیر
196	خیر	بله	خیر
195	بله	خیر	خیر

همانطور که در جدول مشاهده می‌کنید، عدد 199 بر هیچ‌کدام از اعداد 5، 7 و 11 بخش‌پذیر نیست. بنابراین، بزرگترین عددی که کمتر از 200 باشد و همزمان بر 5، 7 و 11 بخش پذیر نباشد، 199 است. ✅

✨ نتیجه‌گیری

با استفاده از هر سه روش، به این نتیجه رسیدیم که بزرگترین عددی که کمتر از 200 باشد و بر 5، 7 و 11 بخش‌پذیر نباشد، عدد 199 است. 🎉